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數(shù)學與藝術：如何相遇又相知

蔡天新

(資料圖片僅供參考)

英國數(shù)學家奧古斯都·德·摩根說：“數(shù)學發(fā)現(xiàn)的動力不是理性，而是想象?！钡聡嫾野柌祭滋亍G勒說：“真正的藝術是包含在自然之中的?！弊畛醯臄?shù)學和藝術是各自獨立產生的，都源于人類生存的需要。那么它們在歷史的長河里是如何發(fā)展、相遇而又碰撞的呢？這便是《數(shù)學與藝術》一書想要探討的問題。

公元前11世紀，周文王之子、周武王之弟周公旦在洛水北岸建造了洛陽，后來成為東周國都。與周公旦同時代的大夫商高是西周初年的數(shù)學家，他率先指出了第一組勾股數(shù)：“勾廣三，股修四，徑隅五?！边@就意味著，此乃勾股定理的特例，后者是中國數(shù)學家的獨立發(fā)現(xiàn)，比古希臘的畢達哥拉斯定理要早。

據(jù)中國最早的數(shù)學典籍之一《周髀算經》記載，一次周公旦在鎬京問商高：“聽說大夫擅長數(shù)學。天沒有臺階可攀登，地又不能用尺寸測量，請問數(shù)是怎樣得來的？”商高回答：“數(shù)是根據(jù)圓和方的道理得來的，圓從方來，方又從矩來，矩是依據(jù)乘法表來的?！敝芄唬骸按笤昭詳?shù)！”

數(shù)學誕生于游牧時代，那時人們的主要財產是牲畜。為了計算它們的只數(shù)，人們便學會了計數(shù)，繼而學會了加法和減法。與此相應的是，詩歌可能是最早出現(xiàn)的文學形式，不過那時恐怕已進入農耕時代，人類已擇地居住下來了。由于缺少科學技術和其他手段，為了有好的收成，人們只能祈求上蒼風調雨順。為此需要禱告即念念有詞，詩歌因此誕生。

在藝術史上，最古老的創(chuàng)作形式可能要數(shù)巖畫，這方面有據(jù)可查。1879年和1940年，一對西班牙父女和四名法國兒童先后發(fā)現(xiàn)了1.5萬年前的史前巖畫，分別是在西班牙北部桑坦德市的阿爾塔米拉巖洞和法國南方多爾多涅省的拉斯科巖洞里。這兩個巖洞的墻壁上都刻畫有許多野牛、長毛象和馴鹿等動物，它們是冰河時代人類用簡陋的石頭或骨頭工具完成的。而在我國大西北，寧夏中衛(wèi)市的黃河北岸，方圓450平方公里的大麥地巖洞里，也有1萬多幅史前巖畫，其中一部分屬于舊石器晚期到新石器時代。

學者們猜測，那些原始狩獵者可能認為，只要他們畫了狩獵圖，再用長矛或石斧痛打一番，真正的野獸便會束手就擒。顯而易見，正如代數(shù)與時間藝術——音樂有著較為密切的關系，空間藝術——繪畫也與幾何相互作用。進一步，不同時期的繪畫與幾何之間，又存在著不一樣的相互關系。例如，文藝復興時期的藝術與歐氏幾何，畢加索的立體主義與非歐幾何，后現(xiàn)代主義藝術與分形幾何。

20世紀美國數(shù)學史家莫里茨·克萊因認為，“文藝復興是數(shù)學精神的復興”。文藝復興時期的意大利畫家達·芬奇也承認，“只有緊緊地依靠數(shù)學，才能穿透那琢磨不透的思想迷魂陣?！币舱驗槲乃噺团d打通了數(shù)學與藝術的界限，才使得接下來的17世紀成為“天才的世紀”，且有多位橫跨文理的巨人。以至于英國哲學家懷特海在列舉了諸多偉大發(fā)現(xiàn)之后感嘆道：“這個世紀可以說是時間不夠，沒法把天才人物的重大事件擺布開來?！?/p>

相比之下，音樂與數(shù)學的關系更為隱秘，但歷史卻更加悠久，肇始于畢達哥拉斯時代。有一天，當這位哲人走過一家鐵匠鋪，聽到了叮叮當當?shù)穆曇?，他經過研究，發(fā)現(xiàn)了音程之間的數(shù)的關系，繼而提出了“萬物皆數(shù)”這一哲學論斷，持續(xù)影響了后世的歐洲文明。而到了18世紀和19世紀，德意志的名山哈茨山南北兩側，兩座地理上對稱的小城埃森納赫和不倫瑞克，相繼誕生了“音樂之父”巴赫和“數(shù)學王子”高斯。前者被譽為“音樂家中的數(shù)學家”，后者的數(shù)學發(fā)現(xiàn)和理論有著天籟般的音樂之美。而與巴赫同時代的瑞士數(shù)學家歐拉則撰寫了著作《音樂新理論的嘗試》，他還提出了音網的概念，如今仍應用于和聲學的研究。

高斯是非歐幾何學的三位發(fā)現(xiàn)者之一，另一位發(fā)現(xiàn)者、匈牙利數(shù)學家鮑耶生前籍籍無名，但卻有一句話流傳后世，“從虛無中，我開創(chuàng)了一個新的世界。” 非歐幾何學大大拓廣了數(shù)學的研究領域，它與歐氏幾何最主要的區(qū)別在于公理體系中采用了不同的平行公設。在黎曼幾何中，球面上的直線是大圓（圓心在球心的圓），兩點間的最短距離是經過這兩點的大圓上的弧線。例如，從上海飛紐約的最短航線不是經過太平洋，而是經過北冰洋。愛因斯坦的廣義相對論原理也在于此，引力源于時空彎曲，光沿著彎曲的弧線傳播。

進入20世紀以來，抽象化成為數(shù)學和藝術的共性。書中各舉它們的兩個主要分支——拓撲學和抽象代數(shù)、超現(xiàn)實主義和表現(xiàn)主義為例，說明共性和個性的存在。拓撲學有著華麗的幾何外表，而抽象代數(shù)充斥著理性的符號。在同時代的諸多現(xiàn)代主義藝術流派中，也有兩個有著頗為相似的風格特征，那便是載歌載舞的超現(xiàn)實主義和含蓄內斂的表現(xiàn)主義。有趣的是，弗洛伊德遺產的繼承人、法國哲學家拉康不僅用語言學重新闡釋了弗氏學說，還把拓撲學和集合論作為精神分析學優(yōu)先研究的外部對象。

說到數(shù)學和藝術的關系這個主題，有許多科學家和藝術家都曾做過不同程度的探討。但我留意到，他們更關注數(shù)學和藝術的外在形式，比如對稱之美（也有的在方法論上做過探究）。但從數(shù)學和藝術的發(fā)展歷程來揭示它們之間的相似性和本質屬性，似乎還沒有人作系統(tǒng)的闡釋?！稊?shù)學與藝術》是這方面的一次嘗試。幸運的是，我在數(shù)學和藝術兩方面都有長時間的實踐和探索，有著第一手的經驗和認識，再加以適當提煉和總結寫成，期待大家的批評指正。

標簽： 超現(xiàn)實主義 數(shù)學發(fā)現(xiàn) 歐氏幾何